交点座標
​（3点1方向、4点、垂線と距離、円と直線、円と円）

​円と直線の交点の座標を計算します。

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1. 計算条件​

この計算を行うためには、次の既知の要素が必要です。

• 円の要素: 中心点 O の座標 (X0, Y0)、半径 R

• 直線の要素: 直線を通る点Aの座標 (XA, YA)、点Bの座標 (XB, YB)

【成立条件】

• 点Aと点Bが同一点ではないこと（直線が定義できること）。

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2. 基本計算式

直線を Y = aX + b のような一次関数で表現すると、真北（X軸平行）の直線でゼロ除算が発生します。そのため、媒介変数 t を用いた直線の方程式と、円の方程式を連立させて解くベクトル的なアプローチで計算します。

​①直線の各成分の差分を求める。

Δx = XB - XA

Δy = YB - YA

②二次方程式 at^2 + bt + c = 0の係数を計算

円の方程式（X - X0）^2 + (Y - Y0)^2 = R^2に直線の媒介変数表示を代入し、展開して次の係数a,b,cを求めます。

a = Δx^2 + Δy^2

b = 2・(Δx・(XA - X0) + Δy・(YA - Y0))

c = (XA - X0)^2 + (YA - Y0)^2 - R^2

③判定式 D による交点数の判定

D = b^2 - 4ac

• D > 0 の場合：交点は 2つ 存在します。

• D = 0 の場合：交点は 1つ（直線と円が接する）です。

• D < 0 の場合：交点は 存在しません（計算終了）。

④ 媒介変数 t の算出（D ≧ 0 の場合）

解の公式を用いて t を求めます。交点が2つの場合は t1, t2 の2つの値が出ます。

t = -b ± SQRT(D) / 2a

⑤ 交点 P の座標を計算

求めた t を用いて、交点座標 (XP, YP) を確定します（t が2つある場合は、それぞれ代入して2つの交点を求めます）。​

XP = XA + t・Δx

YP = YA + t・Δx

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3. 実務上のポイント

「直線」との交差か、「線分」との交差か:

算出された交点が「点Aと点Bの間（線分AB上）」にあるかどうかは、媒介変数 t の値で即座に判定できます。

• 0 ≦ t ≦ 1 : 線分AB上で交差しています。

• t < 0 または t > 1 : 線分ABの延長線上で交差しています。

  現場で「この測線の間に境界線（円弧）が横切っているか」を確認する際、この t の範囲判定だけでプログラム的なロジックを組むことができます。

​2つの交点の使い分け:

• 交点が2つ算出された場合、現場の状況（路線の進行方向や、中心座標から見て右側か左側か）に応じて、どちらの交点を採用するかを技術者が判断する必要があります。